哈爾濱工業(yè)大學高等代數(shù)科目是理學院數(shù)學系下設的在職研究生專業(yè)，哈爾濱工業(yè)大學理學院下設數(shù)學系、物理系、化學系，并建有哈工大現(xiàn)代光學研究所、數(shù)學研究所、應用數(shù)學研究所、仿真算法研究所、物理實驗中心、凝聚態(tài)科學與技術研究所、輻射與材料研究中心、稀土材料工程中心、化學實驗中心、晶體研究室、精細化工研究室、陶瓷化學研究室等。哈爾濱工業(yè)大學高等代數(shù)科目碩士研究生考試大綱如下：

　　一、考試要求

　　(一)多項式

　　1.理解數(shù)域，多項式，整除，最大公因式，互素，不可約，k重因式，重因式的概念。了解多項式環(huán)，微商，本原多項式，字典排序法，對稱多項式，初等對稱多項式，齊次多項式，多項式函數(shù)等概念。

　　2.掌握整除的性質，帶余除法定理，最大公因式定理，互素多項式的判別與性質，不可約多項式的判別與性質，多項式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代數(shù)基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判別定理，對稱多項式基本定理。

　　3.掌握無重因式的充要條件，的判別條件，Lagrange插值公式，復數(shù)域、實數(shù)域及有理數(shù)域上多項式因式分解理論，有理多項式的有理根范圍。

　　4.掌握輾轉相除法，綜合除法。掌握化對稱多項式為初等對稱多項式的多項式的方法。

　　(二)行列式

　　1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代數(shù)余子式的概念。

　　2.掌握行列式的性質，按行、列展開定理，Cramer法則，Laplace定理，行列式乘法公式。

　　3.會用行列式的性質及展開定理計算行列式，掌握計算行列式的基本方法。

　　(三)線性方程組

　　1.理解向量線性相關，向量組等價，極大無關組，向量組的秩，矩陣的秩，基礎解系，解空間等概念。

　　2.掌握線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構。

　　3.掌握用行初等變換求解線性方程組的方法。

　　(四)矩陣

　　1.理解矩陣的概念、了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱陣、反對稱陣的概念及其性質。

　　2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規(guī)律。

　　3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件。理解伴隨矩陣的概念，掌握伴隨矩陣的性質。

　　4.掌握矩陣的初等變換、掌握初等矩陣的性質，理解矩陣等價的概念，會用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

　　5.理解分塊矩陣，掌握分塊陣的運算及初等變換。

　　(五)二次型

　　1.二次型的概念及二次型的矩陣表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的標準形、規(guī)范形的概念及慣性定律。

　　2.掌握用合同變換、正交變換化二次型為標準形的方法。

　　3.掌握二次型和對應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別法。

　　(六)線性空間

　　1.理解線性空間，子空間，生成子空間，基底，維數(shù)，坐標，過渡矩陣，子空間的和與直和等概念。了解線性空間同構的概念。

　　2.掌握基擴張定理，維數(shù)公式，掌握直和的充要條件。

　　3.會求基底，維數(shù)，坐標，過渡矩陣。

　　(七)線性變換

　　1.理解線性變換，特征值，特征向量，特征多項式，特征子空間，不變子空間，線性變換的矩陣，相似變換，相似矩陣，線性變換的值域與核，Jardan標準形，最小多項式等概念。

　　2.掌握線性變換的性質，相似矩陣的性質，特征值、特征向量的性質，核空間與值域的性質，不變子空間的性質。掌握Hamilton-Cayley定理及將線性空間V分解成A-不變子空間的條件和方法，了解最小多項式理論。

　　3.掌握線性變換的矩陣表示方法，求線性變換的特征值、特征向量的方法，矩陣可相似對角化的條件與方法。掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法，會用各種特殊子空間解決相關問題。

　　(八)矩陣

　　1.理解矩陣、可逆矩陣、矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念，了解矩陣的標準形。

　　2.掌握矩陣可逆的充要條件，矩陣等價的充要條件，數(shù)字矩陣相似的充要條件，了解Jordan標準形的理論推導。

　　3.會求矩陣的標準形及不變因子。會求數(shù)字矩陣的Jordan標準形。

　　(九)歐幾里得空間

　　1.掌握內積，歐氏空間，向量長度、夾角、距離，度量矩陣，標準正交基、正交補，正交變換，正交陣，對稱變換，同構等概念。

　　2.掌握Schmidt正交化方法。掌握標準正交基的性質，正交變換的性質，正交陣的性質，對稱變換的性質及標準形。

　　3.掌握實對稱陣的特征值、特征向量的性質。會用正交相似變換將實對稱陣相似(合同)對角化。

　　二、考試內容

　　注：本文中“章”、“節(jié)”均指《高等代數(shù)》(北大數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室，高等教育出版社，第三版，2003年)中的“章”、“節(jié)”

　　1)多項式(第一章1-11節(jié))

　　2)行列式(第二章1-8節(jié))

　　3)線性方程組(第三章1-6節(jié))

　　4)矩陣(第四章1-7節(jié))

　　5)二次型(第五章1-4節(jié))

　　6)線性空間(第六章1-8節(jié))

　　7)線性變換(第七章1-9節(jié))

　　8)矩陣(第八章1-6節(jié))

　　9)歐幾里得空間(第九章1-6節(jié))

　　三、試卷結構

　　1)考試時間：180分鐘，滿分：150分

　　2)題型結構

　　a: 填空與選擇 20%左右

　　b: 解答題(包括計算題和證明題) 80%左右

　　四、在職研究生參考書目

　　《高等代數(shù)》，北大數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室，高等教育出版社，2003年，第三版