高等代數(shù)研究生考試大綱

一、考試要求

1、掌握基本的代數(shù)運(yùn)算方法，包括：行列式的計算，矩陣運(yùn)算（乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量），線性方程組解的判定及求解，多項(xiàng)式運(yùn)算（帶余除法，輾轉(zhuǎn)相除法，綜合除法）等、

2、掌握基本的代數(shù)分析技巧，包括：向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)性，向量空間的基與維數(shù)，線性方程組解的結(jié)構(gòu), 線性變換和矩陣的關(guān)系，方陣可相似對角化的判定,對稱矩陣與二次型，一元多項(xiàng)式的整除性及因式分解、

3、掌握代數(shù)的基本幾何背景，理解代數(shù)與幾何的關(guān)系，包括：歐氏空間和酉空間，正交變換與正交矩陣, 對稱變換與對稱矩陣, 主軸定理, 利用二次型理論化簡二次曲面方程、

二、高等代數(shù)研究生考試內(nèi)容  

第一部分 多項(xiàng)式

1、一元多項(xiàng)式的定義和基本運(yùn)算；

2、多項(xiàng)式的帶余除法與綜合除法，多項(xiàng)式整除性的常用性質(zhì)；

3、多項(xiàng)式的最大公因式概念及性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法；

4、不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，多項(xiàng)式的唯一因式分解定理，多項(xiàng)式的重因式；

5、多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根的概念及性質(zhì)；

6、代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解定理，Vieta定理；

7、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，Eisenstein判別法； 

8、多元多項(xiàng)式概念及字典排列法，對稱多項(xiàng)式、

第二部分  行列式

1、線性方程組和行列式的關(guān)系，排列、n階行列式及其子式和代數(shù)余子式；

2、行列式的性質(zhì)及行列式的基本計算方法；

3、克拉默法則、

第三部分  線性方程組

1、線性方程組求解的消元法；

2、矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩；

3、線性方程組可解的判別法；

4、兩個多項(xiàng)式的結(jié)式和多項(xiàng)式的判別式、

第四部分  矩陣

1、矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算法則；

2、逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質(zhì)，求可逆矩陣的逆矩陣的方法；

3、矩陣的分塊法，分塊矩陣的運(yùn)算法則、

第五部分  向量空間

1、向量空間及子空間的定義；

2、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，向量組線性相關(guān)性的判定條件和性質(zhì)，向量組的極大無關(guān)組；

3、向量空間的基與維數(shù)，過渡矩陣及坐標(biāo)變換式；

4、向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì)；

5、齊次線性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系；線性方程組的結(jié)構(gòu)式通解、

第六部分  線性變換

1、向量空間線性映射概念及其相關(guān)性質(zhì)；

2、線性變換的運(yùn)算和矩陣的相似關(guān)系；

3、不變子空間及其性質(zhì)；

4、方陣的特征值和特征向量；

5、可以對角化的矩陣、　

第七部分  歐氏空間和酉空間

1、向量空間中向量的內(nèi)積、長度、夾角的定義及性質(zhì),規(guī)范正交基,Schmidt正交化方法；

2、正交變換與正交矩陣的定義和性質(zhì)；

3、對稱變換與實(shí)對稱矩陣，實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化；

4、酉空間的定義及其基本性質(zhì)，酉變換和酉矩陣、

第八部分  二次型

1、二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關(guān)系；

2、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型，用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；

3、正定二次型與正定矩陣，實(shí)對稱矩陣正定的判定條件和性質(zhì)；

4、主軸定理, 利用二次型理論化簡二次曲面方程、

參考書目

1、張禾瑞，郝鈵新《高等代數(shù)》（第四版）高等教育出版社；

2、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》（第三版）高等教育出版社；

3、丘維聲《高等代數(shù)》（第二版）　高等教育出版社。在職研究生